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知识库

Javascript浮点数

有一道很常见的面试题

0.1 + 0.2 === 0.3 // true ? false

大家应该都知道是 false，但是为毛不相等呢？下面我将从 浮点数表示 及 浮点数精度 两个方面来解释

Javascript 浮点数表示

Javascript 中不存在整型和浮点型之分，只有一个类型 Number，它遵循 IEEE 二进制浮点数算术标准（IEEE754）,使用 64 位 双精度浮点数（double） 存储。

双精度存储是知道了，那双精度浮点数是如何存储数据呢？主要有以下几个关键点

1. 双精度浮点数使用 64 位存储

  • sign（S）：符号位，长度为 1，0 代表数字为正，1 代表数字为负
  • exponent（E）：指数位，长度为 11，二进制科学计数法的指数位
  • mantissa（M）：尾数位，长度为 52 ，二进制科学计算法的尾数位

数值的计算公式为（二进制）：

value=(−1)S∗2E∗Mvalue = (-1)^S * 2^E * M

2. 使用二进制科学计数法

举个栗子： 0.5100.5_{10} 转换为二进制表示 0.120.1_2 0.120.1_2 转换为二进制科学计数法 1∗2−11*2^{-1}

3. 指数位表示有符号整数

因为指数位数值为无符号整数，范围为[0, 2047]，在规格化值中取 [1, 2046]。但指数位需要表示的是有符号整数，则[1, 1022] 表示为负数[-1022, -1]，1023 表示为 0，[1024, 2046]表示为正数[1, 1023]，所以整个指数位表示的范围是[-1022, 1023]

由上可推导出公式：

E=e−Bias=e−1023E = e - Bias = e - 1023

  • E：指数位表示的数值
  • e：指数位实际存储的数值

举个栗子： 0.5100.5_{10}表示为二进制科学计数法1∗2−11*2^{-1}，该数 E = -1，e = 1022

tips: 下面会讲什么是规格化值，和其他的值

4. 尾数不表示二进制科学计算的整数部分，即不表示 1

由于规格化的数整数位都是 1，所以在存储时可以节约空间，不表示整数位，从小数位开始表示。所以尾数位其实最大能表示 53 位

由上可推导出公式：

M=1+fM = 1 + f

  • M：位数为表示的数值
  • f：位数为实际存储的数值

举个栗子： 二进制科学计数法1∗2−11*2^{-1}，该数 M=1，则实际存储 f=0，

由上可将数值计算公式推导为

value=(−1)S∗2e−1023∗(f+1)value = (-1)^S * 2^{e-1023} * (f + 1)

非规格化值 和 特殊值

那么问题来了，如果按公式 M=f+1M = f + 1，那么如何表示 0 呢？，即使你设 f = 0，e=任意值，按照公式算出，value 不可能为 0。当然第一个公式 value=(−1)S∗2E∗Mvalue = (-1)^S * 2^E * M 没有问题，问题出在公式的推导，因为推导出的公式只符合规格化数值，下面介绍下规格化数值和其他数值

  • 规格化数值：e 不全为 0，也不全为 1，f 为任意值
  • 非规格化数值：e 全部为 0，f 为任意值。非规格化数值主要用于表示 0，以及接近 0 的数。此时公式为 E=e=0，M=fE = e = 0，M = f value=(−1)S∗fvalue = (-1)^S * f
  • 无穷大：e 全部为 1，f 为 0
  • NaN：e 全部为 1，f 不为 0

所以：当 e = 0 时，f = 0 时，表示数值 0

解释 0.1 + 0.2 !== 0.3

到这里，我们已经可以解释 0.1 + 0.2 为什么不等于 0.3 咯

0.1100.1_{10} 表示为二进制为：0.0001100...1100...1100..._20.0001100...1100...1100...\_2 转换为二进制科学计数法为：1.1001100...1100...1100...∗2−41.1001100...1100...1100...*2^{-4} 计算得：S = 0，E = -4，M = 1.1001100…1100…1100…，则 S = 0，e = 1029，f = 1001100…1100…11010 将截断（舍入）后的数值重新表示为二进制，则 0.1 最终的二进制数值为： 0.00011...0011...001101

同理，表示出 0.2，0.3 的二进制数值

0.1：0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
0.2：0.001100110011001100110011001100110011001100110011001101
0.3：0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011


0.1 + 0.2 和为: // 下面会详情介绍该步骤
     0.0100110011001100110011001100110011001100110011001101
将和与0.3对比，发现并不相等，中间差值为:
     0.000000000000000000000000000000000000000000000000000001

从结果值来看，中间差值已经很小很小了，已经可以忽略了不计了。事实上在 ES6 Number 扩展中，增加 Number.EPSILON 属性，表示 1 与大于 1 的最小浮点值差，值为 2−522^{-52}，当值小于 Number.EPSILON 时，一般可忽略不计

浮点数精度

舍入

尾数位只能存储 52 位，但是在 0~1 之间的实数是无穷尽的，这些无穷的数该如何表示呢？既然完全表示不可能完成，那么只有舍弃掉某些数值，来找出最近的浮点数匹配。那么到底采用哪种舍入方法呢？下面介绍常用的舍入方法

  • 向偶数舍入：也称为向最接近值舍入
  • 向零舍入：舍弃末尾位以外的数值，可以按照 Math.trunc 理解
  • 向正无穷舍入：向较大的数舍入，可以按照 Math.ceil 理解
  • 向负无穷舍入：向较小的数舍入，可以按照 Math.floor 理解

IEEE754 采用的是 向偶数舍入，原则是保证损失精度最小，下面简单介绍一下舍入规则

  1. 对于恰巧中间值的情况，如果保留位数最后一位是偶数则舍弃后续数值，奇数则进位。例如 1.0121.01_2 保留 1/2 为 1.021.0_2，1.1121.11_2 保留 1/2 为 1.221.2_2
  2. 对于向上的值较近，则进位。如 1.010101011.01010101 保留 1/2 为1.121.1_2
  3. 对于向下的值较近，则舍弃。如 1.0011.001 保留 1/2 为 1.021.0_2

举个栗子：

0.1 => 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001100 | 110011...
// 由于需要保留的最后一位数后为 110011...，舍入时离向上的值较近，应该进位，所以
0.1 => 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
  • ”|” 表示在该处需要舍入

tips：如果你实在无法判断如何舍入，有个简单的办法。先向下舍入，与原数相减；再向上舍入，与原数相减，将两个差值比较，取差值绝对值较小的那个数；如果差值相等，则取末尾为偶数的那个数

计算

为了进一步保证精度，IEEE754 标准，双精度在中间计算时，额外保留三位，分别是 保护位、舍入位、粘贴位

  • 保护位：精度最低位右侧一位（双精度可以理解为尾数的第 53 位）
  • 舍入位：保护位右侧一位
  • 粘贴位：舍入位右侧一位，代表舍入位右侧是否还有数据，如果右侧还有数据，则粘贴位为 1，否则为 0，目的是为了支持目标数值向最近的偶数舍入

在浮点数计算时，通过额外保存三位，来增加计算的正确性，找到浮点数最接近的匹配。

模拟 0.1 + 0.2 计算

讲了那么多，感觉没什么用，最后还是简单写一下 0.1 + 0.2 的二进制计算过程。

0.1：S = 0，E = -4，M = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2：S = 0，E = -3，M = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010


// 对阶 小阶对大阶
0.1：S = 0，E = -3，M = 0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2：S = 0，E = -3，M = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010


// 将 M 值相加
和为：10.01100110011001100110011001100110011001100110011001110


计算出的0.3：S = 0，E = -3，M = 10.01100110011001100110011001100110011001100110011001110


// 规格化
计算出的0.3：S = 0，E = -2，M = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011 | 10


// 计算时，右边多保留两位，此处保护位 = 1，舍入位 = 0，粘贴位 = 0
// 舍入后
计算出的0.3：S = 0，E = -2，M = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
浮点数的0.3：S = 0，E = -2，M = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011


// 转换10进制
计算出的0.3 = 0.30000000000000004
  • ”|” 表示应该截断，后续数值即为保护位，舍入位，粘贴位

参考

  • 《深入理解计算机系统》第二章节
  • 《计算机组成与设计 软件/硬件接口》 第三章节
  • 维基百科 IEEE 754